図式 (圏論)
J-type diagram
とある関手$ F:J\rightarrow\mathscr{A}
関手圏Fun$ (J,\mathscr{A})の対象のこと
左R加群の図式
状況と用語の整理
https://gyazo.com/e5ea3667a811d0cc02fcfb3c37daf77c
関手$ F:J\rightarrow\mathscr{A}のことを、「$ J型の図式」と呼ぶ
$ Jの部分を取り替えることで、様々な図式を$ \mathscr{A}で描くことができる
$ Jは小さな圏
$ Jのことを、図式の添字圏と言う
「対象と射の関係」のパターンマッチだなmrsekut.icon
対象の個数や、その間の矢印の向きなどが重要なのかなmrsekut.icon
圏$ Jの対象や射そのものはあまり重要ではない
関係が重要
https://gyazo.com/7b64de241a62bc2e3f1e54530b88bd5b
「$ Jの部分を取り替える」の例
直積
$ T型の図式
イコライザ
$ E型の図式
引き戻し
$ P型の図式
普遍性っぽい！
https://gyazo.com/d72e95bb65fa60f3187b8fa047beee4e
始対象っぽい！mrsekut.icon
#??
射圏$ \mathrm{Fun}(2,\mathscr{C})はコンマ圏の一般化と言えるが、
図式$ D=\mathrm{Fun}(J,\mathscr{C})も射圏の一般化っぽくない？
任意の圏$ \mathscr{A}の「圏と対象」を「関手と自然変換」として見ることができる
$ \mathrm{ob}(\mathscr{A})の個数が$ n個なら、$ n本の関手を考え、
$ X,Y\in\mathscr{A}の間の射$ \mathscr{A}(X, Y)の個数$ mが、関手と関手の間の射の個数になる
たぶん
『層とホモロジー代数』 p.15の定義
特に、有向グラフを用いた、加群に対する図式の定義
有向グラフの
頂点に、左R加群
辺を、準同型写像
にしたもの
p.17にもある
有向グラフのパスの圏上の図式の話
以下は別物である
圏$ \mathcal{I}上の図式
圏の合成と、図式の準同型写像の合成の、整合性を要請する
有向グラフ$ \mathcal{I}上の図式
要請しない
参考
図式 (圏論) - Wikipedia
ベシ圏 p.141
『層とホモロジー代数』 p.15
有向グラフを用いた、加群に対する図式の定義が載っている